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Colles de mathématiques

Application linéaire sur des polynômes.


Sujet


Soit f : R3[X] R3[X] P ↦ P − XP'
  1. Montrer que f est une application linéaire.
  2. Déterminer son noyau et son image.
  3. Donner la matrice de f dans la base canonique de R3[X].
    f est-elle bijective ?

Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires - Matrices - Polynômes - Déterminants

Correction


  1. Pour tout couple de polynômes P et Q de R3[X] et tout couple de réels (λ, μ), on a de
    \[\begin{array}{ll} f(\lambda P+\mu Q)&=(\lambda P+\mu Q)-X(\lambda P+\mu Q)'\\[.5em] &=\lambda P+\mu Q-\lambda XP'-\mu XQ'\\[.5em] &=\lambda(P-XP')+\mu(Q-XQ') \\[.5em] &=\lambda f(P)+\mu f(Q) \enar\]

    et donc f est bien linéaire.
  2. Soit P(X) = aX3 + bX2 + cX + d, alors
    \[\begin{array}{ll} f(P)&=\left( aX^3+bX^2+cX+d\rp-X\left(3aX^2+2bX+c\rp \\[.5em] &=-2aX^3+-bX^2+d\enar\]

    Ainsi $f(P)=0\iff P(X)=cX$ et donc $\ker(f)=\text{Vect}(X)$,
    et $\textrm{Im}(f)=\textrm{vect}\left( 1;X^2;X^3\rp$
  3. Dans la base canonique de R3[X], qui est (E0, E1, E2, E3) avec (E0(X) = 1, (E1(X) = X, (E2(X) = X2 et (E3(X) = X3, on a
    \[\la\begin{array}{ll} f\left( E_0\rp&=1-X\tm0=E_0 \\ f\left( E_1\rp&=X-X\tm1=0 \\ f\left( E_2\rp&=X^2-X(2X)=-X=-E_1\\ f\left( E_3\rp&=X^3-X(3X^2)=-2X^3=-2E_2 \enar\right. \iff \lb\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&-1&0 \\ 0&0&0&-2 \\ 0&0&0&0 \enar\rb\]


  4. f n'est clairement pas bijective: son noyau n'est pas réduit à 0 (polynôme nul ici), ou le déterminant de sa matrice est nul (en développant suivant la 2ème colonne, image de E1, qui est le noyau justement...)