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Colles de mathématiques

Calcul d'intégrale avec changement de variable

Sujet

Calculer l'intégrale $\int_0^{\ln2}\dfrac{e^{2x}}{\sqrt{e^x+1}}dx$ en utilisant le changement de variable $u=\sqrt{e^x+1}$ .

Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales sur un segment

Correction

Soit $I=\dsp\int_0^{\ln2}\dfrac{e^{2x}}{\sqrt{e^x+1}}dx$ et le changement de variable $u=\sqrt{e^x+1}\iff e^x=u^2-1$ , et $du=\dfrac{e^x}{2\sqrt{e^x+1}}dx$ , et donc (en n'oubliant pas les bornes),

$I=\int_0^{\ln2}e^x\dfrac{e^x}{\sqrt{e^x+1}}dx=2\int_{\sqrt2}^{\sqrt3}(( u^2-1)du=2[\dfrac13u^3-u]_{\sqrt2}^{\sqrt3}=2[(\dfrac{\sqrt3^3}{3}-\sqrt3)-(\dfrac{\sqrt2^3}{3}-\sqrt2)\]=\dfrac23\sqrt2$