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Colles de mathématiques

Calcul d'intégrale avec changement de variable


Sujet


Calculer l'intégrale $\int_0^1\dfrac{x}{1+\sqrt{x}}dx$ en utilisant le changement de variable $u=1+\sqrt{x}$.

Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales sur un segment

Correction


Soit $I=\dsp\int_0^1\dfrac{x}{1+\sqrt{x}}dx$ et le changement de variable $u=1+\sqrt{x}\iff x=(u-1)^2$ et $dx=2(u-1)du$, et alors (en n'oubliant pas les bornes)
I=2\int_1^2\dfrac{(u-1)^2}{u}(u-1)du=2\int_1^2\dfrac{(u-1)^3}{u}du=2\int_1^2\dfrac{u^3-3u^2+3u-1}{u}du=2\int_1^2u^2du-6\int_1^2u\,du+6\int_1^2du-2\int_1^2\dfrac1udu=\dfrac23\Bigl[ u^3\Bigr]_1^2-3\Bigl[ u^2\Bigr]_1^2+6\Bigl[ u\Bigr]_1^2-2\Bigl[\ln u\Bigr]_1^2=\dfrac23\tm7-3\tm3+3\tm1-2\ln2=\dfrac53-\ln2