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Colles de mathématiques

Calcul d'intégrales grâce à la loi normale

Sujet

Rappeler la fonction densité d'une variable aléatoire de loi normale $\mathcal{N}(0;1)$ .
En déduire $I=\dsp\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx$ . Calculer ensuite $J=\dsp\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2+2x+1}\,dx$ .

Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues

Correction

La fonction densité d'une loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$ est $f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ , qui vérifie en particulier

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx= \int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=1$

On a, en particulier

$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}\,dx=\sqrt{2\pi}$

puis, avec le changement de variable $t=x/\sqrt2\iff x=\sqrt2 t$

$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}\,dx =\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,\sqrt2dt$

et on trouve finalement

$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\dfrac1{\sqrt2}\sqrt{2\pi}=\sqrt{\pi}$

On se ramène au cas précédent en utiisant la forme canonique

$-x^2+2x+1=-(x-1)^2+2$

d'où

$\begin{array}{ll}\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2+2x+1}\,dx &=\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2+2}\,dx\\[1.2em] &=e^2\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2}\,dx\enar$

puis, avec le changement de variable

, et le résultat précédent,

$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2}\,dx =\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi$

et ainsi, finalement,

$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2+2}\,dx =e^2\sqrt\pi$