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Colles de mathématiques

Calculer l'intégrale …

Sujet

Pour n∈N , calculer ∫ ₀ ^π x cos(nx) dx

Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales sur un segment

Correction

Pour n = 0, on a

$\int_0^\pi x\cos(nx)\,dx=\int_0^\pi x\,dx=\lb\dfrac{x^2}2\rb_0^\pi=\dfrac{\pi^2}2$

Pour n∈N^* , on intègre par parties:

$\int_0^\pi x\cos(nx)\,dx=[ x\dfrac{\sin(nx)}n]_0^\pi -\int_0^\pi\dfrac{\sin(nx)}n\,dx=0-\dfrac1n\lb-\dfrac{\cos(nx)}n\rb_0^\pi=\dfrac1{n^2}(\cos(n\pi)-1)=\dfrac1{n^2}(-1)^n-1)$