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Colles de mathématiques

Caractérisation complexe de l'égalité triangulaire


Sujet


Soit (z, z' )∈C2. Montrer que |z| + |z'| = |z + z'| si et seulement si zz'∈R+.

Corrigé de l'exercice de maths: Nombres complexes

Correction


L'inégalité triangulaire $|z|+|z'|\geqslant |z+z'|$ est une égalité si et seulement si $z'=\alpha z$, $\alpha\in\R_+$. Dans ce cas on a alors $\overline{z}z'=\alpha|z|^2\in\R_+$.
Cette condition est aussi suffisante: soit $z=\alpha e^{i\theta}$ et $z'=\alpha' e^{i\theta'}$, avec $\alpha\geqslant0$ et $\alpha'\geqslant0$.
On a alors $\overline{z}z'=\alpha\alpha'e^{i(\theta'-\theta)}$, et donc $\overline{z}z'\in\R_+\iff \theta\equiv\theta'\,[2\pi]$ d'où $z=\alpha e^{i\theta}$ et $z'=\alpha' e^{i\theta'}=\alpha' e^{i\theta}=\lambda z$ avec $\lambda=\dfrac{\alpha'}{\alpha}\in\R_+$.