Colles de mathématiques

Résoudre dans C les équations z² − 2z − 1 = 0 et z² − 2z + 1 = 0

On pose z = x + iy, avec x∈R et y∈R, alors La 2ème équation se réécrit 2y(x−1) = 0 et nous donne donc l'alternative y = 0 ou x = 1.
Si y = 0, la 1ère équation devient x² − 2x − 1 = 0 qui est du 2nd degré de discriminant Δ = 8>0 et donc de racines x₁ = 2 − 8/2 = 1 − 2 et x₂ = 1 + 2.
Si y = 1, la 1ère équation devient −y² − 2 = 0 ⇔ y² = −2 qui n'a pas de solution dans R.
Il y a donc finalement deux solutions, qui sont réelles: z₁ = 1 − 2 et z₂ = 1 + 2.


De même, pour la 2ème équation, avec z = x + iy,
La 2ème équation toujours y = 0 ou x = 1.
Si y = 0, la 1ère équation se réécrit x² − 2x + 1 = 0 ⇔ (x −1) = 0 ⇔ x = 1
Si x = 1, la 1ère équation se réécrit −y² = 0 soit y = 0.
Il y ainsi ici une seule solution à cette deuxième équation: z₁ = 1.