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Colles de mathématiques

Équation de cercle dans l'espace


Sujet


À tout réel t, on associe le point M(t) de coordonnées x(t) = cos(t) + 3sin(t) + 1, y(t) = cos(t) − 3sin(t) + 1 et z(t) = −2 cos(t) + 1 .
  1. Calculer x(t) + y(t) + z(t)
  2. Calculer x2(t) + y2(t) + z2(t)
  3. En déduire que M(t) est toujours élément d'un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Corrigé de l'exercice de maths: Géométrie dans l'espace

Correction


  1. x(t) + y(t) + z(t) = 3 et donc, pour tout réel t, on a M(t)∈P, avec P le plan d'équation x + y + z = 3
  2. x2(t) + y2(t) + z2(t) = 9 et donc, pour tout réel t, on a M(t)∈S, avec S la sphère d'équation x2 + y2 + z2 = 9 ⇔ OM2=32, qui est la sphère de centre O, l'origine du repère, et de rayon 3
  3. Pour tout réel t, on a donc M(t)∈P∩S. Le centre de ce cercle est le projeté orthogonal de O, centre de la sphère, sur le plan P.
    On cherche donc A(x; y; z)∈P tel que le vecteur OA est colinéaire à u(1; 1; 1) (vecteur normal du plan).
    On trouve A(1, 1, 1).

    Le rayon R du cercle est, par exemple, R = AM(0) = 6.