Colles de mathématiques
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients constants
Sujet
Résoudre:
y' + y =
11 + ex
Déterminer la solution f de cette équation qui s'annule en ln(2).
Déterminer la solution f de cette équation qui s'annule en ln(2).
Corrigé de l'exercice de maths: Équations différentielles
Correction
L'équation homogène est y' + y = 0 et a pour solutions les fonctions
x ↦ ke−x, k∈R.
Faisons varier la constante: y(x) = k(x)e−x, alors y'(x) + y(x) = k'(x)e−x = 11 + ex et donc k'(x) = ex1 + ex, d'où k(x) = ln (1 + ex ).
Enfin, la solution générale de l'équation est y(x) = ln (1 + ex ) e−x + ke−x, k∈R.
f est solution de l'équation, donc f (x) = ln (1 + ex ) e−x + ke−x, k∈R.
On sait de plus que f (ln(2)) = 0 soit
Ainsi, finalement,
Faisons varier la constante: y(x) = k(x)e−x, alors y'(x) + y(x) = k'(x)e−x = 11 + ex et donc k'(x) = ex1 + ex, d'où k(x) = ln (1 + ex ).
Enfin, la solution générale de l'équation est y(x) = ln (1 + ex ) e−x + ke−x, k∈R.
f est solution de l'équation, donc f (x) = ln (1 + ex ) e−x + ke−x, k∈R.
On sait de plus que f (ln(2)) = 0 soit
12ln(3)
+ 12k = 0
⇔ k = −ln(3)
Ainsi, finalement,
f (x) =
ln (1 + ex ) e−x −ln(3)e−x
=
ln
1 + ex3
e−x