Colles de mathématiques
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients constants
Sujet
Résoudre: y' + y = xe−x
Corrigé de l'exercice de maths: Équations différentielles
Correction
L'équation homogène est y' + y = 0 et a pour solutions
les fonctions x ↦ ke−x, k∈R.
Faisons varier la constante: y(x) = k(x)e−x, alors y'(x) + y(x) = k'(x)e−x = xe−x et donc k'(x) = x, d'où k(x) = 12x2.
Ainsi y(x) = 12x2e−x est une solution particulière, et les solutions générales sont x ↦ 12x2e−x + ke−x, k∈R.
Faisons varier la constante: y(x) = k(x)e−x, alors y'(x) + y(x) = k'(x)e−x = xe−x et donc k'(x) = x, d'où k(x) = 12x2.
Ainsi y(x) = 12x2e−x est une solution particulière, et les solutions générales sont x ↦ 12x2e−x + ke−x, k∈R.