Colles de mathématiques
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients constants
Sujet
Résoudre: y' − 2y = cos(x) +2sin(x)
Corrigé de l'exercice de maths: Équations différentielles
Correction
L'équation homogène est y' − 2y = 0 et a pour solutions
les fonctions x ↦ ke2x, k∈R.
On peut ensuite chercher une solution particulière sous la forme y(x) = Acos(x) + Bsin(x), avec (A, B)∈R2.
On a alors, y' − 2y = (B−2A)cos(x) −(A+2B)sin(x) = cos(x) + 2sin(x) soit −2A + B = 1 A + 2B = −2
On trouve alors A = −45 et B = −35, soit la solution particulière y(x) = −45cos(x) −35sin(x),
Les solutions générales sont donc
On peut ensuite chercher une solution particulière sous la forme y(x) = Acos(x) + Bsin(x), avec (A, B)∈R2.
On a alors, y' − 2y = (B−2A)cos(x) −(A+2B)sin(x) = cos(x) + 2sin(x) soit −2A + B = 1 A + 2B = −2
On trouve alors A = −45 et B = −35, soit la solution particulière y(x) = −45cos(x) −35sin(x),
Les solutions générales sont donc
x ↦ ke2x −45cos(x) −35sin(x)
pour tout k∈R