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Colles de mathématiques

Équation différentielle - 1er ordre, coefficients constants


Sujet


Résoudre: y' − 2y = cos(x) +2sin(x)

Corrigé de l'exercice de maths: Équations différentielles

Correction


L'équation homogène est y' − 2y = 0 et a pour solutions les fonctions xke2x, kR.
On peut ensuite chercher une solution particulière sous la forme y(x) = Acos(x) + Bsin(x), avec (A, B)∈R2.
On a alors, y' − 2y = (B−2A)cos(x) −(A+2B)sin(x) = cos(x) + 2sin(x) soit −2A + B = 1 A + 2B = −2
On trouve alors A = −45 et B = −35, soit la solution particulière y(x) = −45cos(x) −35sin(x),
Les solutions générales sont donc
xke2x45cos(x) −35sin(x)
pour tout kR