Colles de mathématiques

Résoudre: y' − 2xy = −(2x−1)e^x

L'équation homogène est y' − 2xy = 0 ⇔ y'y = 2x et a pour solutions, en intégrant, les fonctions x ↦ ke^x2, k∈R .
En faisant varier la constante, y(x) = k(x)e^x2, on obtient y' − 2xy = k'(x)e^x2 = −(2x−1)e^x, et donc k'(x) = −(2x−1)e^−x2+x, qui est de la forme u'e^u et dont une primitive est donc Ainsi, y(x) = e^−x2+xe^x2 = e^x est une solution particulière, et les solutions générales sont données par x ↦ e^x + ke^x2, k∈R