Colles de mathématiques
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants
Sujet
Résoudre:
xy' + y =
1x2(1 + x)
Corrigé de l'exercice de maths: Équations différentielles
Correction
xy' + y =
1x2(1 + x)
L'équation homogène est xy' + y = 0 ⇔ y'y = −1x soit en intégrant y = kx , k∈R.
En faisant varier la constante: y = k(x)x , on trouve xy' + y = k'(x) = 1x2(1 + x)
Pour intégrer ce terme, on décompose en éléments simples:
Les solutions de l'équation différentielle sont donc les fonctions y = kx + k(x)x , k∈R, soit
L'équation homogène est xy' + y = 0 ⇔ y'y = −1x soit en intégrant y = kx , k∈R.
En faisant varier la constante: y = k(x)x , on trouve xy' + y = k'(x) = 1x2(1 + x)
Pour intégrer ce terme, on décompose en éléments simples:
1x2(1 + x)
=
αx
+
βx2
+
γ1 + x
On trouve
- en multipliant par x2, puis en faisant x = 0, on trouve β = 1
- en multipliant par 1+x, puis en faisant x = −1, on trouve γ = 1
- en multipliant par x, puis en faisant tendre x +∞, on trouve α + γ = 0 et donc α = −1
1x2(1 + x)
=
−1x
+
1x2
+
11 + x
expression qui s'intègre maintenant facilement en
k(x) =
−ln(|x|) −1x
+ln(|1+x|)
Les solutions de l'équation différentielle sont donc les fonctions y = kx + k(x)x , k∈R, soit
y = kx
−1xln(|x|) −1x2
+1xln(|1+x|)
pour tout
k∈R,