Colles de mathématiques
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants
Sujet
Résoudre l'équation différentielle
(E): (1+x2)y' + xy − x3 = 0
Corrigé de l'exercice de maths: Équations différentielles
Correction
(E): (1+x2)y' + xy − x3 = 0
⇔ (1+x2)y' + xy = x3
L'équation homogène associée est (1+x2)y' + xy = 0 ⇔ y'y = −x1+x2
et donc,
Vu le second memebre de cette équation différentielle, on peut rechercher une solution particulière polynomiale: y(x) = ax2 + bx + c, et alors on a avec cette solution particulière
et on doit donc avoir a = 13, b = 0 et c = −23, pour donner la solution particulière
Finalement, la solution générale de (E) est
L'équation homogène associée est (1+x2)y' + xy = 0 ⇔ y'y = −x1+x2
et donc,
ln(|y|)
= −12ln(1+x2) + Cte
= ln
11 + x2
+ Cte
et alors
y = k1 + x2,
k∈R
Vu le second memebre de cette équation différentielle, on peut rechercher une solution particulière polynomiale: y(x) = ax2 + bx + c, et alors on a avec cette solution particulière
(1+x)2y' + xy = 3ax3 + 2bx2 + (2a+c)x + b = x3
et on doit donc avoir a = 13, b = 0 et c = −23, pour donner la solution particulière
y(x) = 13x2 −23
Finalement, la solution générale de (E) est
y(x) = k1 + x2 + 13x2 −23
pour toute constante réelle k.