Colles de mathématiques
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants
Sujet
Résoudre sur ]0;+∞[ l'équation différentielle:
xy' − y + ln(x) = 0
Corrigé de l'exercice de maths: Équations différentielles
Correction
On a tout d'abord
xy' − y + ln(x) = 0
⇔ xy' − y = − ln(x)
L'équation homogène associée est xy' + xy = 0 ⇔ y'y = 1x et donc, en intégrant,
Pour Déterminer une solution particulière on utilise la méthode variation de la constante: y(x) = C(x)x et alors
Les solutions de l'équation différentielle sont donc les fonctions qui s'écrivent sous la forme,
L'équation homogène associée est xy' + xy = 0 ⇔ y'y = 1x et donc, en intégrant,
y(x) = Cx
où C est une constante réelle quelconque.
Pour Déterminer une solution particulière on utilise la méthode variation de la constante: y(x) = C(x)x et alors
xy' − y = − ln(x)
⇔ C'(x)x = ln(x)
⇔ C'(x) = ln(x) x
On peut alors directement intégrer, car ici
C' = u'u, avec u = ln(x), et donc C = 12u2 soit
C(x) = 12(ln(x))2
Les solutions de l'équation différentielle sont donc les fonctions qui s'écrivent sous la forme,
y(x) = Cx + 12x(ln(x))2
pour toute constante réelle C.