Colles de mathématiques
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants
Sujet
Résoudre sur ]0;+∞[ l'équation différentielle:
(x−1)y' + y − ln(x) = 0
Corrigé de l'exercice de maths: Équations différentielles
Correction
Soit
(x−1)y' + y − ln(x) = 0
⇔(x−1)y' + y = ln(x)
L'équation homogène associée est (x−1)y' + y = 0 ⇔ y'y = −1x−1 et donc, en intégrant,
Plus précisément, comme cette fonction est discontinue en 1, on par morceaux y(x) = C1x−1 sur ]0;1[ et y(x) = C2x−1 sur ]1;+∞[.
Pour Déterminer une solution particulière de l'équation différentielle on peut utiliser la méthode de variation de la constante: y(x) = C(x)x−1 et alors
Les solutions générales de l'équation différentielle sont donc les fonctions qui s'écrivent sous la forme,
L'équation homogène associée est (x−1)y' + y = 0 ⇔ y'y = −1x−1 et donc, en intégrant,
y(x) = Cx−1
où C est une constante réelle quelconque.
Plus précisément, comme cette fonction est discontinue en 1, on par morceaux y(x) = C1x−1 sur ]0;1[ et y(x) = C2x−1 sur ]1;+∞[.
Pour Déterminer une solution particulière de l'équation différentielle on peut utiliser la méthode de variation de la constante: y(x) = C(x)x−1 et alors
y'(x) = C'(x)x−1 − C(x)(x−1)2
et alors on obtient dans l'équation différentielle
(x−1)y' + y
= C'(x)
= ln(x)
Une primitive de ln(x) est C(x) = xln(x) − x
et on a donc la solution particulière
y(x) = xln(x) − xx − 1
sur les intervalles ]0;1[ et ]1;+∞[.
Les solutions générales de l'équation différentielle sont donc les fonctions qui s'écrivent sous la forme,
y(x) = xln(x) − xx − 1 + C1x−1
sur ]0;1[ et
y(x) = xln(x) − xx − 1 + C2x−1
sur ]1;+∞[,
pour toutes constantes réelles C1 et C2.