Colles de mathématiques
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants
Sujet
Résoudre:
y' − 2xy = x2
Corrigé de l'exercice de maths: Équations différentielles
Correction
L'équation homogène est
y' − 2xy = 0
⇔ y'y = 2x
soit, en intégrant,
ln(|y(x)|) = 2ln(x) + Cte = ln(x2) + Cte et donc
y(x) = kx2,
k∈R.
En faisant varier la constante, y(x) = k(x)x2, on obtient y' − 2xy = k'(x)x2 = x2, soit k'(x) = 1 ou encore k(x) = x, et ainsi y(x) = k(x)x2 = x3 est une solution particulière.
Les solutions générales sont donc x ↦ x3 + kx2, k∈R
En faisant varier la constante, y(x) = k(x)x2, on obtient y' − 2xy = k'(x)x2 = x2, soit k'(x) = 1 ou encore k(x) = x, et ainsi y(x) = k(x)x2 = x3 est une solution particulière.
Les solutions générales sont donc x ↦ x3 + kx2, k∈R