Colles de mathématiques
Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants
Sujet
Résoudre l'équation différentielle:
y'' + 9y = x + 1
Corrigé de l'exercice de maths: Équations différentielles
Correction
L'équation homogène associée y'' + 9y = 0
a pour équation caractéristique r2 + 9 = 0
de racines imaginaires pures r = ±3i, et donc pour solution
y(x) = Acos(3x) + Bsin(3x),
avec (A, B)∈R2.
Comme le second membre est affine, on peut rechercher aussi une solution particulière affine, soit y(x) = ax + b, pour laquelle
Les solutions de l'équation sont donc les fonctions
Comme le second membre est affine, on peut rechercher aussi une solution particulière affine, soit y(x) = ax + b, pour laquelle
y'' + 9y
= 9(ax + b)
= x + 1
et on obtient ainsi une solution particulière en choisissant
a = b = 19
Les solutions de l'équation sont donc les fonctions
x ↦ Acos(3x) + Bsin(3x)
+ 19(x + 1)