Colles de mathématiques
Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants
Sujet
Résoudre l'équation différentielle:
y'' − 2y' + y = x
Corrigé de l'exercice de maths: Équations différentielles
Correction
C'est une équation différentielle du second ordre homogène dont
l'équation homogène associée est
y'' − 2y' + y = 0
et dont l'équation caractéristique est
r2 −2r + 1 = 0
⇔ (r − 1)2 = 0
et donc r = 1 est une racine double.
Ainsi, les solutions sont de la forme y = (Ax + B)ex pour toutes constantes réelles A et B.
Comme le second membre est affine, on peut rechercher aussi une solution particulière affine, soit y(x) = ax + b, pour laquelle
Les solutions de l'équation sont donc les fonctions
Ainsi, les solutions sont de la forme y = (Ax + B)ex pour toutes constantes réelles A et B.
Comme le second membre est affine, on peut rechercher aussi une solution particulière affine, soit y(x) = ax + b, pour laquelle
y'' − 2y' + y
= ax + (−2a + b)
= x
et on obtient ainsi une solution particulière en choisissant
a = 1 et −2a + b = 0 ⇔ b = 2
Les solutions de l'équation sont donc les fonctions
x ↦ (Ax + B)ex + x − 2
pour toutes constantes réelles A et B.