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Colles de mathématiques

Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants


Sujet


Résoudre y'' − 4y' +3y = sin(2x)

Corrigé de l'exercice de maths: Équations différentielles

Correction


L'équation homogène associée y'' − 4y' +3y = 0 a pour équation caractéristique r2 − 4r +3 = 0 qui admet deux racines réelles distinctes r = 1 et r = 3, et l'équation homogène a pour solutions
y(x) = Aex + Be3x
avec des constantes réelles quelconques A et B.
On peut rechercher une solution particulière sour la forme y(x) = a cos(2x) + b sin(2x) pour laquelle
y'' − 4y' +3y = (−a−8b)cos(2x) + (−b+8a)sin(2x) = sin(2x)
On obtient ainsi une solution particulière en choisissant −a − 8b = 0 8a − b = 1 d'où on tire a = 865 et b = −165
Les solutions de l'équation différentielles sont donc les fonctions
x ↦ Axex + Be3x + 865cos(2x) − 165sin(2x)
pour tous réels A et B.