Colles de mathématiques
Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants
Sujet
Résoudre l'équation différentielle
y'' − 4y' +3y = e2xcos(x)
Corrigé de l'exercice de maths: Équations différentielles
Correction
L'équation homogène associée
y'' − 4y' +3y = 0
a pour équation caractéristique
r2 − 4r +3 = 0
qui admet deux racines réelles distinctes r = 1 et r = 3, et l'équation homogène a pour
solutions
Comme, en utilisant une exponentielle complexe, e2xcos(x) = Re(e(2+i)x), on peut, par linéarité de l'équation différentielle, chercher une rechercher une solution particulière de l'équation
On recherche une telle solution particulière sous la forme y(x) = ke(2+i)x, pour laquelle
Les solutions de l'équation sont donc finalement les fonctions
y(x) = Aex + Be3x
avec des constantes réelles quelconques A et B.
Comme, en utilisant une exponentielle complexe, e2xcos(x) = Re(e(2+i)x), on peut, par linéarité de l'équation différentielle, chercher une rechercher une solution particulière de l'équation
y'' − 4y' +3y =
(e(2+i)x)
dont on prendra finalement la partie réelle.
On recherche une telle solution particulière sous la forme y(x) = ke(2+i)x, pour laquelle
y'' − 4y' +3y
= k((2+i)2−4(2+i)+3) e(2+i)x
= −2ke(2+i)x
et il suffit donc de choisir k tel que −2k = 1 soit
k = −12
ce qui fournit donc la solution partiulière, en prenant la partie réelle
y(x) = −12e2xcos(x)
Les solutions de l'équation sont donc finalement les fonctions
y(x) = Aex + Be3x −12e(2+i)x
pour tous réels A et B.