Colles de mathématiques
Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants, avec conditions initiales
Sujet
Résoudre l'équation différentielle du second ordre:
y'' −2y' + y = 0 avec les conditions initiales
y(0) = 1 et y'(0) = 0
Corrigé de l'exercice de maths: Équations différentielles
Correction
C'est une équation différentielle du second ordre homogène dont l'équation caractéristique est
r2 −2r + 1 = 0
⇔ (r − 1)2 = 0
et donc r = 1 est une racine double.
Ainsi, les solutions sont de la forme y = (Ax + B)ex pour toutes constantes réelles A et B.
Comme de plus y(0) = 1, on obtient B = 1.
Par ailleurs, y'(x) = Aex + (Ax + B)ex et donc la deuxième condition initiale y'(0) = 0 donne cette fois A + B = 0, soit donc A = − B = −1.
Ainsi, finalement, la solution est
Ainsi, les solutions sont de la forme y = (Ax + B)ex pour toutes constantes réelles A et B.
Comme de plus y(0) = 1, on obtient B = 1.
Par ailleurs, y'(x) = Aex + (Ax + B)ex et donc la deuxième condition initiale y'(0) = 0 donne cette fois A + B = 0, soit donc A = − B = −1.
Ainsi, finalement, la solution est
y(x) = (−x + 1)ex