Colles de mathématiques
Équation polynomiale de degré 4
Sujet
Résoudre dans R, puis dans C, l'équation:
4x + 6x2 + 4x3 + x4 = 0
Corrigé de l'exercice de maths: Nombres complexes - Sommes
Correction
On peut remarquer que 0 et −2 sont racines de ce polynôme, puis le factoriser par x puis par x−2.
On peut aussi reconnaître les coefficients du binôme de Newton:
![\[(1+x)^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.2_c/1.png)
Ici, on a donc
![\[\begin{array}{ll}4x+6x^2+4x^3+x^4=0
&\iff (1+x)^4-1=0 \\[.6em]
&\iff (1+x)^4=1
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.2_c/2.png)
Dans
, on a donc
et donc l'équation a deux solutions
ou
.
Dans
, la formule du binôme reste bien sûr exactes, par contre
signifie que
est une racine quatrième de l'unité,
soit
, pour
,
,
et donc l'équation admet 4 solutions
On peut aussi reconnaître les coefficients du binôme de Newton:
![\[(1+x)^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.2_c/1.png)
Ici, on a donc
![\[\begin{array}{ll}4x+6x^2+4x^3+x^4=0
&\iff (1+x)^4-1=0 \\[.6em]
&\iff (1+x)^4=1
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.2_c/2.png)
Dans
![$\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.2_c/3.png)
![$4x+6x^2+4x^3+x^4=0\iff 1+x=\pm1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.2_c/4.png)
![$x=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.2_c/5.png)
![$x=-2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.2_c/6.png)
Dans
![$\C$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.2_c/7.png)
![$(1+x)^4=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.2_c/8.png)
![$1+x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.2_c/9.png)
![$1+x=e^{2ik\pi/4}=e^{ik\pi/2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.2_c/10.png)
![$k\in\N$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.2_c/11.png)
![$0\leqslant k\leqslant3$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.2_c/12.png)
![\[\mathcal{S}=\la0;\, -1+i,\, -2,\, -1-i \ra\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.2_c/13.png)