Colles de mathématiques
Étude de la convergence de la série
Sujet
Étudier la convergence de la série de terme général
un =
lnn2 + n + 1n2 + n − 1
Corrigé de l'exercice de maths: Séries
Correction
La fraction rationnelle dans le logarithme tend vers 1, et donc on cherche à utiliser l'équivalence, en 0,
ln(1 + u)∼u.
On peut écrire, (comme pour une décomposition en éléments simples, ou pour faire apparaître le 1+u),
On peut écrire, (comme pour une décomposition en éléments simples, ou pour faire apparaître le 1+u),
un
=
lnn2 + n + 1n2 + n − 1
=
lnn2 + n − 1 + 2n2 + n − 1
=
ln1 + 2n2 + n − 1
Comme
2n2 + n − 1
0
on peut utiliser l'équivalent annoncé, soit
un ∼
2n2 + n − 1
∼
2n2
qui est le terme général d'une série de Riemann convergente, et la série est donc convergente.