Colles de mathématiques
Étude de la convergence de la série
Sujet
Monter que pour tout x≥1, on a ln(x)≤x − 1.
En déduire la nature de la série de terme général un = ln(nn)n!
En déduire la nature de la série de terme général un = ln(nn)n!
Corrigé de l'exercice de maths: Séries
Correction
On peut montrer cette inégalité de plusieurs façons, avec divers outils, par exemple en utilisant la convexité de la fonction
et le fait que
est l'équation de la tangente sa courbe en 1.
On peut aussi simplement éudier la fonction différence
, dérivable sur
et dont la dérivée
est
.
Ainsi, pour
, on a
et
est décroissante, donc,
pour tout
,
.
Là aussi, on peut étudier la nature de la série de diverses façons (entre autres avec la règle de d'Alembert).
Néanmoins si on se laisse guider par l'énoncé, les termes
sont positifs et tels que
![\[u_n=\dfrac{\ln\left( n^n\right)}{n!}=\dfrac{n\ln n}{n!}=\dfrac{\ln n}{(n-1)!}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/excvg9_c/12.png)
puis, en utilisant la première inégalité,
![\[u_n\leqslant\dfrac{n-1}{(n-1)!}=\dfrac{1}{(n-2)!}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/excvg9_c/13.png)
qui est le terme général d'une série convergente. Ainsi, la série de terme général
est aussi convergente.


On peut aussi simplement éudier la fonction différence



Ainsi, pour





Là aussi, on peut étudier la nature de la série de diverses façons (entre autres avec la règle de d'Alembert).
Néanmoins si on se laisse guider par l'énoncé, les termes

![\[u_n=\dfrac{\ln\left( n^n\right)}{n!}=\dfrac{n\ln n}{n!}=\dfrac{\ln n}{(n-1)!}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/excvg9_c/12.png)
puis, en utilisant la première inégalité,
![\[u_n\leqslant\dfrac{n-1}{(n-1)!}=\dfrac{1}{(n-2)!}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/excvg9_c/13.png)
qui est le terme général d'une série convergente. Ainsi, la série de terme général
