Colles de mathématiques
Famille libre ?
Sujet
À quelle condition sur le réel a, la famille
(e1, e2, e3), avec
e1 = (a, 1, 1),
e2 = (1, a, 1),
e3 = (1, 1, a)
est-elle une base de R3 ?
Corrigé de l'exercice de maths: Déterminants
Correction
Le déterminant des 3 vecteurs est:
D(a) =
a
1
1
1
a
1
1
1
a
La famille est libre, donc une base, si et seulement si D(a)≠0.
En ajoutant les 3 colonnes dans la 1ère, on obtient, D(a) = 2 + a 1 1 2 + a a 1 2 + a 1 a = (2 + a) 1 1 1 1 a 1 1 1 a
puis en soustrayant la 2ème colonne à la 1ère, D(a) = (2 + a) 0 1 1 1 − a a 1 0 1 a
et alors, en développant suivant la 1ère colonne, D(a) = − (2 + a)(1 − a) 1 1 1 a
et donc,
La famille est libre, donc une base, si et seulement si D(a)≠0.
En ajoutant les 3 colonnes dans la 1ère, on obtient, D(a) = 2 + a 1 1 2 + a a 1 2 + a 1 a = (2 + a) 1 1 1 1 a 1 1 1 a
puis en soustrayant la 2ème colonne à la 1ère, D(a) = (2 + a) 0 1 1 1 − a a 1 0 1 a
et alors, en développant suivant la 1ère colonne, D(a) = − (2 + a)(1 − a) 1 1 1 a
et donc,
D(a) = − (2 + a)(1 − a)(a − 1)
Ainsi, la famille est une base si et seulement si a≠−2 et a≠1.