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Colles de mathématiques

Intégrale impropre: convergence, calcul avec changement de variable


Sujet


  1. Montrer que I = ∫ 0 +∞ ln(t)/1 + t2dt converge, puis, en utilisant le changement de variables u = 1/t, montrer que ∫ 0 +∞ ln(t)/1 + t2dt = 0
  2. Soit a>0. Calculer ∫ 0 +∞ ln(t)/a2 + t2dt .

Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales généralisées

Correction


  1. La fonction $t\mapsto \dfrac{\ln t}{a^2+t^2}$ est continue sur $]0,+\infty[$. Au voisinage de 0, on a l'équivalence
    \[\dfrac{\ln t}{a^2+t^2}\sim \frac{\ln t}{a^2}\]

    et on sait que $\ln t$ est intégrable en 0 (par exemple car $\ln t=o\lp1/\sqrt{t}\rp$ et que $t\mapsto1/\sqrt{t}$ est une intégrale de Riemann intégrable en 0, ou encore avec une primitive $t\mapsto t\ln t-t$ de $\ln t$). De même, au voisinage de $+\infty$, on a
    \[\dfrac{\ln t}{a^2+t^2}=o\left(\frac{1}{t^{3/2}}\right)\]

    On en déduit que $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{a^2+t^2}$ est convergente. Le changement de variables u=1/t, qui est de classe \mathcal{C}^1 et strictement décroissant, donne ensuite
    I=\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt=-\int_0^{+\infty}\frac{-\ln u}{1+\frac{1}{u^2}}\frac{-1}{u^2}du=-\int_0^{+\infty}\frac{\ln u}{1+u^2}du=-I

    On en déduit que \int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt=0.
  2. On cherche bien sûr à se ramener à l'intégrale de la fonction précédente. Avec le changement de variables $t=au$, on obtient
    \int_0^{+\infty}\dfrac{\ln t}{a^2+t^2}dt=\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln au}{a^2+a^2u^2}adu=\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln a}{a(1+u^2)}du+\int_0^{+\infty}\frac{\ln u}{a(1+u^2)}du

    De même que dans le calcul de la question précédente, et le fait qu'une primitive de $\dfrac{1}{1+u^2}$ est $\arctan u$, on arrive alors
    \[\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{a^2+t^2}dt=\frac{\pi\ln a}{2a}\]