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Colles de mathématiques

Intégrale trigonométrique


Sujet


Calculer l'intégrale $I=\int_0^\pi \sin^3x\cos^2x\,dx$

Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales sur un segment

Correction


On peut procéder suivant (au moins) deux méthodes.
Formule d'Euler.
On peut commencer par écrire
I=\int_0^\pi \sin^3x\cos^2x dx=\int_0^\pi \sin^3x(1-\sin^2x) dx=\int_0^\pi\sin^3x dx-\int_0^\pi\sin^5x dx

puis, avec la formule d'Euler et la formule du binôme de Newton:
\sin^3x=(\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}2)^3=\dfrac1{2^3}(e^{3ix}-3e^{ix}+3e^{ix}-e^{-3i})

puis, en regroupant les termes, et à nouveau la formule d'Euler,
\sin^3x=\dfrac1{2^2}(\sin(3x)-3\sin(x))

De même,
\sin^5(x)=(\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}2)5=\dfrac1{2^5}((e^{5ix}-5e^{3ix}+10e^{ix}-10e^{-ix}+5e^{-3ix}-e^{-5ix})=\dfrac1{2^4}(\sin(5x)-5\sin(3x)+10\sin(x))

On a alors,
I=\int_0^\pi\sin^3x dx-\int_0^\pi\sin^5x dx=\dfrac1{2^2}[-\dfrac{\cos(3x)}3+3\cos(x)]_0^\pi -\dfrac1{2^4}[-\dfrac{\cos(5x)}{5}+5\dfrac{\cos(3x)}3-10\cos(x)]_0^\pi =\dfrac4{15}




Changement de variable.
Comme la fonction $f:x\mapsto\sin^3x\cos^2x$ est impaire, il est judicieux d'effectuer le changement de variable $u=\cos x$.
On a alors, $du=-\sin x\,dx$ et
I=\int_0^\pi \cos^2 x \sin^2x\sin x dx=-\int_1^{-1} u^2(1-u^2)du=\int_{-1}^1u^2\,du-\int_{-1}^1u^4 du =2\int_0^1u^2 du-2\int_0^1u^4 du = 2[\dfrac{u^3}3]_0^1-2[\dfrac{u^5}5]_0^1=\dfrac23-\dfrac25=\dfrac4{15}