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Colles de mathématiques

Limite exponentielle


Sujet


Calculer la limite de la suite: $u_n=\lp1+\dfrac{x}{n}\rp^n$, $x\in\R$

Corrigé de l'exercice de maths: Suites - Limite - Développements limités

Correction


Pour tout entier $n$, on a
\[u_n=\lp1+\dfrac{x}{n}\rp^n =\exp\left( n\ln\left(1+\dfrac{x}{n}\rp\rp\]

$x$ est un réel fixé, et $n\to+\infty$, d'où $u=\dfrac{x}{n}\to0$, et alors
\[\begin{array}{ll} u_n&=\exp\left( n\left( u+o(u)\rp\rp\\[.5em] &=\exp\left( nu +o(nu)\rp\\[.5em] &=\exp\left( x+o(1)\rp\enar\]

et la limite de $\left( u_n\rp$ lorsque $n\to+\infty$ est donc $e^x$.