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Colles de mathématiques

Limite racine n-ième du carré


Sujet


Étudier la limite de $u_n=\sqrt[n]{n^2}$.

Corrigé de l'exercice de maths: Suites - Limite - Équivalents - Développements limités

Correction


On a
\[\begin{array}{ll}\sqrt[n]{n^2}&=\left( n^2\rp^{1/n}\\[.7em] &=\exp\lp\dfrac1n\ln\lp n^2\rp\rp\\[.8em] &=\exp\lp\dfrac2n\ln(n)\rp\enar\]

Par croissances comparées, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln(n)}{n}=0$ et donc
\[\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{n^2}=\exp(0)=1\]