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Colles de mathématiques

Maximum et maximum sur un carré


Sujet


  1. Déterminer les extrema de: f : R2R définie par f (x, y) = 2x3 + 6xy − 3y2 + 2
  2. Déterminer le maximum de f (x, y) = x − y + x3 + y3 définie sur K = [0;1]×[0;1]

Corrigé de l'exercice de maths: Fonctions de plusieurs variables

Correction


  1. On calcule les dérivées partielles de $f$ au premier ordre :
    \[\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=6x^2+6y \text{ et } \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=6x-6y\]

    Un point critique $(x,y)$ vérifie donc
    \[\la\begin{array}{ll} 6x^2+6y=0\\ 6x-6y=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} x=y\\ x^2+x=x(x+1)=0 \enar\right.\]

    et on trouve que les seuls points critiques sont $(0,0)$ et $(-1,-1)$.
    On calcule ensuite les dérivées au second ordre:
    \[\begin{array}{lcl}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)&=&12x\\[1em] \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)&=&-6\\[1em] \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)&=&6 \enar\]

    En $(0,0)$, avec les notations usuelles, $r=0$, $t=-6$ et $s=6$, soit $rt-s^2<0$ et donc $(0,0)$ n'est pas un extrémum local pour $f$.

    En $(-1,-1)$, on a $r=-12$, $t=-6$ et $s=6$, soit $rt-s^2>0$ et $r<0$ et donc $f$ admet un maximum local en $(-1,-1)$.
    Ce maximum ne peut pas être un maximum global. En effet, $f(x,0)=2x^3$ tend vers $+\infty$ si $x$ tend vers $+\infty$, et donc la fonction n'est pas majorée. Par conséquent, elle n'admet pas de maximum global.
  2. On a
    \[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=1+3x^2>0\]

    et donc $f$ ne peut pas admettre de point critique.
    On en déduit que le maximum de $f$ sur $K$ ne peut être atteint qu'en un point du bord de $K$. Il suffit ensuite d'étudier le comportement de $f$ sur le bord de $K$. On a d'une part $f(x,0)=x+x^3$ qui atteint son maximum en $(1,0)$, maximum valant $2$. On a ensuite $f(x,1)=x+x^3$, qui atteint son maximum valant 2 en $(1,1)$. On a ensuite $f(0,y)=-y+y^3\leq 2$ si $y\in[0,1]$, et $f(1,y)=2-y+y^3\leq 2$. Ainsi, le maximum de $f$ sur $K$ est égal à 2.