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Colles de mathématiques

Nature de l'intégrale impropre …


Sujet


Étudier la nature de l'intégrale ∫ 0 +∞ xe−x/1 + x2dx

Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales généralisées

Correction


$x\mapsto\dfrac{xe^{-x}}{1+x^2}$ est continue sur $[0;+\infty[$. Seul se pose donc le problème de la convergence de l'intégrale en $+\infty$.
Or, en $+\infty$, $\dfrac{\frac{xe^{-x}}{1+x^2}}{\frac1{x^2}}=x^2\dfrac{xe^{-x}}{1+x^2} \sime^{-x}\to0$, ce qui signifie que, en $+\infty$, $\dfrac{xe^{-x}}{1+x^2}=o\lp\dfrac1{x^2}\rp$.
Or $x\mapsto\dfrac1{x^2}$ est le terme d'une intégrale de Riemann convergente, et il en est donc de même pour notre intégrale.