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Colles de mathématiques

Plans dans l'espace


Sujet


Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les plans P d'équation x − y + z = 2 et P' d'équation x + 2y + 3z = 4.
  1. Vérifier que P et P' ne sont pas parallèles, puis donner un système d'équations paramétriques de la droite d d'intersection de P et P'.
  2. Donner une équation du plan P'', perpendiculaire à d et passant par le point A de coordonnées (1, 0, −1).
  3. Donner les coordonnées du point B commun à P, P' et P''.

Corrigé de l'exercice de maths: Géométrie dans l'espace

Correction


Les plans P et P' sont deux plans définis par les équations cartésiennes P: x − y + z = 2 et P': x + 2y + 3z = 4.
  1. Un vecteur normal à P est n(1; −1; 1) et un vecteur normal à P' est n'(1; 2; 3) . Comme ces vecteurs ne sont pas colinéaires, P et P' ne sont pas parallèles.

    Un vecteur directeur de $d$ est alors $\vec{u}=\vec{n}\wedge\vec{n'}=(-5;-2;3)$ qui a donc une représentation paramétrique de la forme $\la\begin{array}{ll} x&=x_0-5t\\y&=y_0-2t\\z&=z_0+3t\enar\right.,t\in\R$, où $(x_0;y_0;z_0)$ sont les coordonnées d'un point quelconque de $d$, donc d'un point de $P$ et de $P'$:
    \[\la\begin{array}{l} (x_0-5t)-(y_0-2t)+(z_0+3t)=2 \\[.4em] (x_0-5t)+2(y_0-2t)+3(z_0+3t)=4 \enar\right. \iff \la\begin{array}{l} x_0-y_0+z_0=2 \\[.4em] x_0+2y_0+3z_0=4 \enar\right.\]

    Ce système est le système d'équations catésiennes de $d$, et il suffit ici de trouver un point, par exemple, $x_0=1$, $y_0=0$, $z_0=1$.
    On obtient donc la représentation paramétrique:
    \[d: \la\begin{array}{ll} x&=1-5t\\y&=-2t\\z&=1+3t\enar\right.,t\in\R\]

  2. Le vecteur $\vec{u}$ directeur de $d$ est donc normal au plan $P qui a donc une équation de la forme $-5x-2y+3z+k=0$.
    Comme $A(1,0,-1)\in P''$, on en déduit que $k=8$, et donc $P'': -5x-2y+3z+8=0$.
  3. $d=P\cap P'$ et $P''\perp d$, donc ces 3 plans sont concourants en un point $B\in d$.
    En utilisant la représentation paramétrique de $d$ et l'équation cartésienne de $P''$:
    \[-5(1-5t)-2(-2t)+3(1+3t)+8=0 \iff 38t+6=0\iff t=-\dfrac{3}{19}\]

    d'où $x_B=1-5\tm\dfrac{-3}{19}=\dfrac{34}{19}$, $y_B=-2\dfrac{-3}{19}=\dfrac{6}{19}$ et $z_B=1+3\tm\dfrac{-3}{19}=\dfrac{10}{19}$.