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Colles de mathématiques

Produit, logarithme et intégrales et équivalent en l'infini


Sujet


  1. Calculer l'intégrale $\int_1^e \ln t dt$
  2. Montrer que, pour tout i\geq 2,    \int_{i-1}^i\ln t\,dt\leq\ln i\leq\int_i^{i+1}\ln t \,dt.
  3. Montrer que, pour tout entier n\geq 1,    \int_1^n \ln t\,dt\leq \ln(n!)\leq \int_1^n\ln t \,dt+\ln n.
  4. En déduire que \ln(n!) est équivalent à n\ln(n) lorsque n tend vers +\infty.

Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales sur un segment

Correction


  1. On réalise une intégration par parties, en écrivant \ln(t)=1\times \ln(t), d'où

    \int_1^e\ln(t)dt=[t\ln(t)]_1^e-\int_1^e t\tm\dfrac1t dt=e\ln e-e+1=1

  2. Soit t\in [i-1,i]. Alors, puisque la fonction logarithme est croissante, on a

    \ln(t)\leq \ln(i)

    et donc, en intègrant sur [i-1,i],

    \int_{i-1}^i \ln(t)dt\leq\int_{i-1}^i\ln(i)dt=(i-(i-1))\ln(i)=\ln(i)

    La deuxième partie de l'inégalité se prouve exactement de la même façon, en remarquant que pour tout $t$ dans [i,i+1], on a

    \ln(i)\leq\ln(t)

  3. On commence par l'inégalité de gauche, en sommant membre à membre l'inégalité de gauche précédente pour $i$ allant de 2 jusqu'à n.
    Par la formule de Chasles, le membre de gauche est alors

    \int_1^2\ln(t)dt+\int_2^3\ln(t)dt+\dots+\int_{n-1}^n\ln(t)dt=\int_1^n \ln (t)dt

    Le membre du milieu vaut lui
    \sum_{i=2}^n \ln(i)=\ln\left(\prod_{i=2}^n i\right)=\ln(n!)



    On s'occupe ensuite de l'inégalité de droite. On somme membre à membre l'inégalité de droite de la question précédente, mais cette fois pour $i$ de 2 à n.
    On obtient
    \ln\big((n-1)!\big)\leq \int_1^n\ln(t)dt

    Il suffit ensuite d'ajouter $\ln(n)$ de chaque côté de l'inégalité pour obtenir le résultat demandé.
  4. Des deux questions précédentes, on tire

    n\ln n-n+1\leq\ln(n!)\leq n\ln n+\ln n-n+1

    soit encore
    1-\dfrac1{\ln n}+\dfrac1{n\ln n}\leq\frac{\ln(n!)}{n\ln n}\leq 1+\dfrac1n-\dfrac1{\ln n}+\dfrac1{n\ln n}

    Par le théorème des gendarmes, on trouve alors que
    \lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln(n!)}{n\ln (n)}=1

    Ceci signifie exactement que \ln(n!) est équivalent à n\ln(n) lorsque $n$ tend vers +\infty.