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Colles de mathématiques

Racine carrée d'une loi de Pareto


Sujet


Soit $a$ un réel et
\[f:\R\to\R, \, x\mapsto\la\begin{array}{cl} 0 &\text{si } x\leqslant1 \\ \dfrac{a}{x^3} &\text{sinon}\enar\right.\]


  1. Déterminer $a$ pour que $f$ soit une densité probabilité.
  2. Soit $X$ une variable aléatoire admettant $f$ pour densité. Déterminer la fonction de répartition de $X$.
  3. Étudier si $X$ admet une espérance et une variance. Si oui, les calculer.
  4. Soit $Y=\sqrt{X}$. Déterminer une densité de $Y$.
  5. Étudier si $Y$ admet une espérance et une variance. Si oui, les calculer.

Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues

Correction


  1. $f$ est clairement positive, continue sauf en un seul point, et
    \[\int_1^{+\infty}\dfrac1{x^3}dx =\lb\,-\dfrac1{2x^2}\,\rb_1^{+\infty} =\dfrac12\]

    et donc
    \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1 \iff a=2\]


  2. Si $x\leqslant1$, on a $F_X(x)=0$, sinon, pour $x>1$,
    \[\begin{array}{ll}F_X(x)&=P(X\leqslant x)\\[.6em] &=\dsp\int_{-\infty}^xf(x)dx\\[1em] &=2\dsp\int_1^x\dfrac1{x^3}dx\\[.6em] &=1-\dfrac1{x^2}\enar\]



  3. \[\int_1^{+\infty}xf(x)dx=\int_1^{+\infty}\dfrac2{x^2}dx\]

    existe (intégrale de Riemann) et
    \[E(X)=\int_1^{+\infty}xf(x)dx=2\lb\,-\dfrac1x\,\rb_1^{+\infty}=2\]

    par contre, le moment d'ordre 2,
    \[\int_1^{+\infty}x^2f(x)dx=\int_1^{+\infty}\dfrac2xdx\]

    n'existe pas, ni, donc, la variance.
  4. Pour la fonction de répartition:
    \[\begin{array}{ll}F_Y(x)&=P(Y\leqslant x)\\ &=P\lp\sqrt{X}\leqslant x\rp\\ &=P\left( X\leqslant x^2\rp\\ &=F_X\left( x^2\rp\enar\]

    d'où
    \[F_Y(x)=\la\begin{array}{cl}0&\text{si} x\leqslant1\\ F_X\left( x^2\rp=1-\dfrac1{x^4}&\text{sinon}\enar\right.\]

    et donc, la densité, $f_Y(y)=0$ pour $y\leqslant1$ et
    \[f_Y(y)=\dfrac4{y^5} \text{ pour } y>1\]


  5. \[E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}yf_Y(y)dy=4\int_1^{+\infty}\dfrac1{y^4}dy =\dfrac43\]

    tandis que $E\left( Y^2\rp=E(X)=2$ d'où
    \[V(Y)=E\left( Y^2\rp-\left( E(Y)\rp^2=\dfrac29\]