Colles de mathématiques
Racine double et division euclidienne
Sujet
Soit .
- Déterminer tel que et .
- Montrer qu'il existe et tels que . Déterminer et .
- Déterminer le reste de la division euclidienne de par .
Corrigé de l'exercice de maths: Polynômes
Correction
- On cherche donc une racine double de .
La deuxième équation est une équation du second degré qui a pour racines et . On vérifie facilement que est aussi solution de la première équation et nous donne donc la valeur recherchée.
Remarque: en lisant l'ensemble des questions avant de commencer, on s'aperçoit qu'à la question 2 suivante, cette racine double est donnée ... (ce qui n'est bien sûr pas une démonstration)
- est donc une racine double du polynôme qui se factorise donc
par , soit
avec
ce qui montre que est un polynôme du premier degré, soit et donc
En développant, on obtient
d'où il suffit d'avoir
et on a donc trouvé que
- On écrit la division euclidienne:
avec le reste tel que
d'où
et donc
On détermine ensuite ces trois suites de coefficients:- Pour ,
on obtient
- Pour , on obtient
- en dérivant,
et donc, vec qui est racine de et ,
Soit avec
puis donne
puis, en substituant
et
- Pour ,
on obtient