Colles de mathématiques
Série entière presque géométrique
Sujet
Donner le rayon de convergence et donner une expression à l'aide de fonctions usuelles de la série
∑
n≥0
x2n2n + 1.
Corrigé de l'exercice de maths: Séries entières
Correction
Si
est le terme général de la série, et
on a
lorsque
.
Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que
.
Soit donc, pour
,
.
et,
.
On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence,
.
On peut intégrer directement en
,
ou en décomposant en éléments simples:
.
On trouve alors en intégrant
,
d'où finalement
,
Remarque: on peut vérifier (question supplémentaire ?) pour la seule valeur facilement calculable de la série:
donc
.
Avec le résultat trouvé, comme en 0,
,
donc
on a bien
en prolongeant par continuité en 0 l'expression trouvée
.



Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que

Soit donc, pour


et,

On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence,

On peut intégrer directement en


On trouve alors en intégrant


Remarque: on peut vérifier (question supplémentaire ?) pour la seule valeur facilement calculable de la série:


Avec le résultat trouvé, comme en 0,


