Colles de mathématiques
Série télescopique
Sujet
Montrer que la série de terme général, pour n≥2,
un =
1n−1
−2n
+1n+1
est convergente, et calculer sa somme
Corrigé de l'exercice de maths: Séries
Correction
Il s'agit d'une série télescopique. La somme partielle s'écrit
![\[\begin{array}{lcl}
S_n&=&\dsp\sum_{k=2}^n \lp\dfrac1{\sqrt{k-1}}-\dfrac2{\sqrt{k}}+\dfrac1{\sqrt{k+1}}\rp\\[1.2em]
&=&\dsp\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{k}}-2\sum_{k=2}^n\dfrac1{\sqrt k}+\sum_{k=3}^{n+1} \dfrac1{\sqrt{k}}\\[1.2em]
&=&1-\dfrac1{\sqrt 2}-\dfrac1{\sqrt n}+\dfrac1{\sqrt{n+1}}.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/ST_c/1.png)
On trouve ainsi que cette suite converge, avec pour somme
![\[\lim_{n\to+\infty}S_n=1-\dfrac1{\sqrt2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/ST_c/2.png)
On trouve ainsi que cette suite converge, avec pour somme