Colles de mathématiques
Sup et inf d'une loi de lois de Pareto
Sujet
Soit un entier naturel
, et
variables aléatoires indépendantes
,
, … ,
toutes de densité
![\[f:\R\to\R, \, x\mapsto\la\begin{array}{cl}
0 &\text{si } x\leqslant1 \\
\dfrac1{x^2} &\text{sinon}\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/sup-inf-pareto/6.png)





![\[f:\R\to\R, \, x\mapsto\la\begin{array}{cl}
0 &\text{si } x\leqslant1 \\
\dfrac1{x^2} &\text{sinon}\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/sup-inf-pareto/6.png)
- Vérifier que
est une densité de probabailité d'une variable aléatoire.
- Étudier l'existence de
et
.
- Soit
et
.
Déterminer une densité deet de
.
- Étudier l'existence, et calculer éventuellement la valeur,
de
, de
, de
et de
.
Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues
Correction
-
est clairement positive, continue sauf en 1, et
doncdéfinit bien une densité de probabilité.
-
diverge donc les variables aléatoiresn'ont ni espérance ni variance.
- On passe par la fonction de répartition: pour
,
et alors, par indépendance des variables, et en posantla fonction de répartition des variables
,
On obtient alors la densité en dérivant
De même, par indépendance,
et enfin, pour la fonction de répartition
-
et
et donc aussi
Par contre,
avec, en l'infini,
et donc l'intégrale diverge:n'admet pas d'espérance et donc ni de variance.