Colles de mathématiques
Tangente à un cercle passant par un point et calcul de distance
Sujet
On considère, dans un repère orthonormal du plan, le point A(−2;0) et le cercle 𝒞 de centre Ω(2;2) et de rayon 2.
On note Δ une droite passant par A et tangente à 𝒞 en T.
Déterminer les coordonnées du point T et la distance AT .
On note Δ une droite passant par A et tangente à 𝒞 en T.
Déterminer les coordonnées du point T et la distance AT .
Corrigé de l'exercice de maths: Géométrie plane cartésienne
Correction
Soit T(x, y).
On a AT . ΩT = 0
et ΩT = 2,
soit
![\[\begin{array}{l}
\la\begin{array}{l}
\overrightarrow{AT}\cdot\overrightarrow{\Omega T}=(x+2)(x-2)+y(y-2)=0\\[.5em]
\Omega T^2=(x-2)^2+(y-2)^2=2
\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
x^2+y^2-4x-4y+6=0
\enar\right.\\[1.5em]
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
4x+2y-10=0
\enar\right.\\[1.5em]
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+(-2x+5)^2-2(-2x+5)-4=5x^2-16x+11=0\\[.5em]
y=-2x+5
\enar\right.\\[1.5em]
\end{array}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/4.png)
x = 1 est une racine évidente du trinôme, la 2ème racine étant alors x = 115.
On trouve donc deux possibilités: T(1;3) et T115; 35.
x = 1 est une racine évidente du trinôme, la 2ème racine étant alors x = 115.
On trouve donc deux possibilités: T(1;3) et T115; 35.