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Colles de mathématiques

Accroissements finis pour un trinôme du second degré - Interprétation géométrique


Sujet


Appliquer la formule des accroissements finis à la fonction f (x) = ax2 + bx + c entre x0 et x0 + h.
Que remarque-t'on ? Géométriquement ?

Corrigé de l'exercice de maths: Théorèmes de Rolle & accroissements finis

Correction


$f$ est continue et dérivable sur $\R$ (c'est un polynôme du second degré), et la formule des accroissements finis sur $\left( x_0;x_0+h\rb$ nous donne l'existence de $\theta\in\left] x_0;x_0+h\right[$ tel que
\[f\left( x_0+h\rp-f\left( x_0\rp=hf'\left(\theta\rp\]

avec,
\[\begin{array}{ll} f\left( x_0+h\rp-f\left( x_0\rp &=a\left( x_0+h\rp^2+b\left( x_0+h\rp+c -\Bigl( ax_0^2+bx_0+c\Bigr) \\[.7em] &=2ax_0h+ah^2+bh \\[.7em] &=h\left( 2ax_0+ah+b\right) \enar\]

et
\[f'\lp\theta\rp=2a\theta+b\]

On a donc,
\[f\left( x_0+h\rp-f\left( x_0\rp=hf'\left(\theta\rp \iff h\left( 2ax_0+ah+b\rp=h\Bigl( 2a\theta+b\Bigr)\]

et alors, pour $h\not=0$, on peut déterminer le réel $\theta$ de la formule des accroissements finis:
\[\theta=x_0+\dfrac{h}2\]

Géométriquement, cela signifie que, pour une parabole (la courbe de $f$, qui est un trinôme du second degré), la tangente au point d'abscisse $\dfrac{a+b}{2}$, milieu de $a$ et $b$, est parallèle à la courbe reliant les points de la parabole $A\left( a;f(a)\rp$ et $B\left( b;f(b)\rp$.

\[\psset{xunit=1.6cm,yunit=1cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1,-1)(3,6) \newcommand{\f}[1]{#1 2 exp #1 sub 1 add} \newcommand{\fp}[1]{2 #1 mul 1 sub} \psline{->}(-1,0)(3,0) \psline{->}(0,-1)(0,6) \psplot[linewidth=1.6pt]{-1}{2.6}{\f{x}} \newcommand{\xa}{0.4}\newcommand{\xb}{2} \newcommand{\xc}{1.2} \psline[linestyle=dashed](\xa,0)(! \xa\space\f{\xa}) \psline[linestyle=dashed](\xb,0)(! \xb\space\f{\xb}) \rput(!\xa\space -.3){$a$} \rput(!\xb\space -.3){$b$} \rput(!\xc\space -.3){$\frac{a+b}{2}$} \psline(!\xa\space\f{\xa})(!\xb\space\f{\xb}) \psline[linestyle=dashed](\xc,0)(! \xc\space\f{\xc}) \psplot{-0.3}{3}{\fp{\xc} x 1.2 sub mul \f{\xc} add} \end{pspicture}\]