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Colles de mathématiques

Calcul d'intégrale avec changement de variable

Sujet

Calculer l'intégrale $\int_0^1\dfrac{x}{\sqrt{1+x}}dx$ à l'aide du changement de variable $u=\sqrt{1+x}$ .

Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales sur un segment

Correction

Soit $I=\dsp\int_0^1\dfrac{x}{\sqrt{1+x}}dx$ et le changement de variable $u=\sqrt{1+x} \iff x=u^2-1$ et $dx=2u\,du$ , soit alors, en n'oubliant pas de changer les bornes de l'intégrale,

$I=\int_1^{\sqrt2} \dfrac{u^2-1}{u}2u\,du =2\int_1^{\sqrt2}(u^2-1)\,du =2[\dfrac13u^3-u]_1^{\sqrt2}=2[(\dfrac{(\sqrt2)^3}3-\sqrt2)-(\dfrac13-1)]=\dfrac23(-\sqrt2+2)$