Colles de mathématiques
Calcul de sommes connaissant e
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Sujet
Sachant que
e =
+∞
∑
n=0
1n!
,
calculer les sommes
S1 =
+∞
∑
n=0
n + 1n!
et
S2 =
+∞
∑
n=0
n2 − 2n!
.
Corrigé de l'exercice de maths: Séries
Correction
On a, pour ,
et donc
On peut changer d'indice dans la première somme:
et par ailleurs,
On trouve finalement la somme
On procède de la même façon pour la deuxième somme:
Il reste à exprimer cette dernière somme. Pour cela on essaie de simplifier le numérateur avec le dénominateur, pour ,
et alors
puis en hangeant d'indices
On trouve donc finalement que, simplement,
et donc
On peut changer d'indice dans la première somme:
et par ailleurs,
On trouve finalement la somme
On procède de la même façon pour la deuxième somme:
Il reste à exprimer cette dernière somme. Pour cela on essaie de simplifier le numérateur avec le dénominateur, pour ,
et alors
puis en hangeant d'indices
On trouve donc finalement que, simplement,