Colles de mathématiques
Calculer l'intégrale …
Sujet
Calculer l'intégrale
∫
−1
2
x |x| dx
Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales sur un segment
Correction
D'après la définition de la valeur absolue:
![\[|x|=\la\begin{array}{rl}x&\text{ si } x<0\\-x&\text{ si } x\geqslant0\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC0_c/1.png)
on utilise alors une décomposition de l'intégrale sur
, puis sur
, par la propriété de Chasles,
![\[\begin{array}{lcl}
\dsp\int_{-1}^2 x|x|dx&=&\dsp\int_{-1}^0 x|x|dx+\int_{0}^2 x|x|dx\\[1em]
&=&\dsp\int_{-1}^0 -x^2dx+\int_0^2 x^2 dx\\[1em]
&=&\dsp\left[-\frac{x^3}3\right]_{-1}^0+\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\[1em]
&=&\dfrac 73.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC0_c/4.png)
![\[|x|=\la\begin{array}{rl}x&\text{ si } x<0\\-x&\text{ si } x\geqslant0\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC0_c/1.png)
on utilise alors une décomposition de l'intégrale sur
![$[-1,0]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC0_c/2.png)
![$[0,2]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC0_c/3.png)
![\[\begin{array}{lcl}
\dsp\int_{-1}^2 x|x|dx&=&\dsp\int_{-1}^0 x|x|dx+\int_{0}^2 x|x|dx\\[1em]
&=&\dsp\int_{-1}^0 -x^2dx+\int_0^2 x^2 dx\\[1em]
&=&\dsp\left[-\frac{x^3}3\right]_{-1}^0+\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\[1em]
&=&\dfrac 73.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC0_c/4.png)