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Colles de mathématiques

Calculer l'intégrale …


Sujet


Calculer l'intégrale ∫ 3 4 1/3x2 − 2x − 1 dx

Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales sur un segment

Correction


On a, en décomposant en éléments simples,
\[\dfrac{1}{3x^2-2x-1}=\dfrac{1}{(x-1)(3x+1)} =\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{3x+1}\]

et, en multipliant par $(x-1)$, puis en faisant $x=1$, on trouve $a=\dfrac14$, et de même, en multipliant par $(3x+1)$ et en faisant $x=-\dfrac13$ on trouve $b=-\dfrac34$, soit, en résumé,
\[\dfrac{1}{3x^2-2x-1}=\dfrac14\tm\dfrac{1}{x-1}-\dfrac34\tm\dfrac{1}{3x+1}\]

et alors,
\int_3^4\dfrac{1}{3x^2-2x-1}dx &=\dsp\dfrac14\int_3^4\dfrac{1}{x-1}dx-\dfrac34\int_3^4\dfrac{1}{3x+1}dx=\dfrac14[\ln|x-1|]_3^4-\dfrac34[\dfrac13\ln|3x+1|]_3^4=\dfrac14\ln\lp\dfrac32\rp-\dfrac14\ln(\dfrac{13}{10})=\dfrac14\ln(\dfrac{3\tm10}{2\tm13})=\dfrac14\ln(\dfrac{15}{13}))