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Colles de mathématiques

Courbe paramétrée fractions rationnelles


Sujet


Soit C la courbe définie par la représentation paramétrique x(s) = 11 + s2 y(s) = −s1 + s2 , pour s∈[0;+∞[.
  1. Calculer les dérivées des fonctions x et y, puis établir le tableau des variations conjointes de x et y.
  2. On note A le point de la courbe lorsque s = 0, et B le point de la courbe lorsque s = 1.
    Déterminer les coordonnées des points A et B.
    Préciser la direction de la tangente à la courbe C aux points A et B.
  3. Tracer alors, en utilisant tous les résultats précédents, la courbe C.

Corrigé de l'exercice de maths: Courbes paramétrées

Correction


  1. $\la\begin{array}{ll} x'(s)=\dfrac{-2s}{(1+s^2)^2} \\[0.3cm] y'(s)=\dfrac{-(1+s^2)+2s^2}{(1+s^2)^2} =\dfrac{s^2-1}{(1+s^2)^2} \enar\right.$ d'où,
    Tableau des variations conjointes


  2. Lorsque $s=0$, $x(0)=1$ et $y(0)=0$, d'où $A(1;0)$.
    Lorsque $s=1$, $x(1)=\frac12$ et $y(1)=-\frac12$, d'où $B\lp\frac12;-\frac12\rp$.

    En $A$, $x'(0)=0$ et $y'(0)=-1$; ainsi, la tangente en $A$ est verticale.
    En $B$, $x'(1)\not=0$ et $y'(1)=0$; ainsi la tangente en $B$ est horizontale.

  3. Courbe paramétrée