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Colles de mathématiques

Courbe paramétrée polynomiale


Sujet


Étudier et tracer la courbe définie paramétriquement par x(t) = −6t3 + 6t2 y(t) = −6t2 + 6t pour t∈I = [0;1].

Corrigé de l'exercice de maths: Courbes paramétrées

Correction


  1. Étude des variations de f et g:
    Pour tout  t∈I,
    \[ \la\begin{array}{lll} f'(t)&=-18t^2+12t&=6t(-3t+2) \\[.5em] g'(t)&=-12t+6&=6(-2t+1) \enar\right. \]

    On peut alors dresser le tableau des variations de f et g:
    Tableau des variations conjointes



  2. Étude des points remarquables de la courbe.
    Il y a 3 points remarquables (O est un point double):

    • Pour $t=0$, $f'(t)=0$ et $g'(t)\not=0$: la tangente au point $\left( 0\,;\,0\rp$ est verticale.
    • Pour $t=\frac{1}{2}$, $g'(t)=0$ et $f'(t)\not=0$: la tangente au point $A\lp\dfrac{3}{4}\,;\,\dfrac{3}{2}\rp$ est horizontale.
    • Pour $t=\frac{2}{3}$, $f'(t)=0$ et $g'(t)\not=0$: la tangente au point $B\left( \dfrac{8}{9}\,;\,\dfrac{4}{3}\rp$ est verticale
    • Pour $t=1$, $m=\dfrac{g'(t)}{f'(t)}=1$: la tangente au point $\lp0\,;\,0\rp$ a pour coefficient directeur $m=1$.


    Courbe paramétrée