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Colles de mathématiques

Décomposition en série de Fourier


Sujet


Soit F la fonction créneau, 2π-périodique: F(t) = 1 pour t∈[0, π[ F(t) = −1 pour t∈[π, 2π[
Étudier la série de Fourier de F.

Corrigé de l'exercice de maths: Série de Fourier

Correction


F est 2π-périodique et impaire, et ainsi an = 0.
Par ailleurs, pour tout entier n, avec ω = 2π/T = 1,
\[b_n=\dfrac4\pi\int_0^\pi f(x)\sin(n\omega x)dx =\dfrac4\pi\int_0\pi\sin(nx)dx =\dfrac4\pi\Bigl[ -\dfrac1n\cos(nx)\Bigr]_0^\pi =\dfrac{4}{n\pi}\left( 1-\cos(n\pi)\rp\]

ou encore, comme $\cos(n\pi)=(-1)^n$, on obtient $b_{2n}=0$ et $b_{2n+1}=\dfrac{8}{(2n+1)\pi}$ et alors pour tout $x\not=k\pi$, $k\in\Z$,
\[f(x)=\dfrac8\pi\sum_{n\geqslant0}\dfrac{\sin((2n+1)x)}{2n+1}\]