Colles de mathématiques
Décomposition de Fourier d'une exponentielle périodique
Sujet
Soit f la fonction 2π-périodique telle que f (x) = ex pour x∈[−π, π[.
- Représenter graphiquement f sur x∈[−3π, 3π[.
- Déterminer la série de Fourier de f.
- En déduire la valeur de la somme ∑ n≥1 1n2 + 1
Corrigé de l'exercice de maths: Série de Fourier
Correction
f est la fonction 2π-périodique définie par l'expression f (x) = ex pour x∈[−π, π[.
-
- La fonction est 2π-périodique donc de pulsation ω = 2πT = 1.
Sa valeur moyenne est
Pour tout entier n>0, en intégrant par parties,
et on trouve ici l'expression des autres coefficients bn:
et donc, d'une part an = −1nbn, et d'autre part, en intégrant par parties bn,
Enfin, on y retrouve l'expression de an et donc, avec cos(nπ) = cos(−nπ) = (−1)n, on trouve
On a donc obtenu le système
d'où on tire
On en déduit que pour tout réel x≠(2k + 1)π, k∈Z,
- En x = π, on a
duquel on tire que