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Colles de mathématiques

Équation de plan, projeté orthogonal et distance au plan


Sujet


Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on donne trois points A(1, 2, 3), B(0, 1, 5) et C(2, 3, 4).
  1. Donner une équation cartésienne du plan P contenant les points A, B et C.
  2. Soit u, v et w trois réels, et M le point de coordonnée (u, v, w).
    Déterminer le projeté orthogonal H du point M sur le plan P.
  3. Calculer la distance du point N(2, 1, 1) au plan P.

Corrigé de l'exercice de maths: Géométrie dans l'espace

Correction


  1. Le produit vectoriel $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(-1;-1;2)\wedge(1;1;1)=(-3;3;0)$ donne un vecteur normal à $P$, qui a donc une équation cartésienne de la forme $-3x+3y+k=0$.
    Comme $A\in P$, on a $k=-3$, et donc $P:-3x+3y-3=0\iff x-y+1=0$.
  2. Soit $M(u,v,w)$, $H(x;y;z)$.
    On a $\overrightarrow{HM}$ colinéaire à $\vec{n}$, donc $3(x-u)+3(y-v)=0\iff x+y=u+v$, et $z-u=0\iff z=u$.
    De plus, $H\in P\iff x-y+1=0$, d'où $x=\dfrac{u+v-1}{2}$, $y=\dfrac{u+v+1}{2}$ et $z=u$.
  3. Le projeté de $N(2;1;1)$ sur $P$ est $H(1;2;1)$ et la la distance de $N$ à $P$ est donc $NH=\sqrt{2}$